来者可追

摘要： 第四章 第三节 一致有界原则 Baire 纲定理 定义（疏集） 设 \((X,d)\) 是距离空间，\(E\subset X\)。如果 \(E\) 不在 \(X\) 的任何非空开集中稠密，则称 \(E\) 是疏集。 注 对于 \(X\) 中的任何一个点，总能在他周围找到无法用疏集 \(E\) 中的点 阅读全文

摘要： 第四章 第二节 有界线性算子空间的收敛性与完备性 有界线性算子空间的收敛性 定义（有界线性算子列的收敛性） 设 \(A_n, A \in \mathcal{B}(X, X_1)\)，如果 \(\|A_n - A\| \to 0\ (n \to \infty)\)，则称有界线性算子列 \(\{A_n\ 阅读全文

摘要： 第四章 第一节 有界线性算子的定义与性质 有界线性算子和有界线性泛函的定义 定义（线性算子） 设 \(X\)、\(X_1\) 是赋范空间，\(\mathrm{D}(T) \subset X\) 是一个线性子空间，\(T\) 是从 \(\mathrm{D}(T)\) 到 \(X_1\) 的映射，满足 阅读全文

摘要： 第三章 第五节 可分的希尔伯特空间 线性无关组的正交化算法 定理1 设 \(\{x_n\}\) 是 Hilbert 空间 \(H\) 中的可数子集, 则在 \(H\) 中存在标准正交列 \(\{e_n\}\), 使得 \(\{e_n\}\) 与 \(\{x_n\}\) 张成的子空间相同. 证明 利用 阅读全文

摘要： 第三章 第四节 正交基与正交列的完备性 正交基 例1 在 \(\mathbb R^3\) 中, \(e_1=(1,0,0)\), \(e_2=(0,1,0)\) 是 \(\mathbb R^3\) 中的标准正交列, \(x=(1,1,1)\in\mathbb R^3\), 但是 \[(x,e_1)e 阅读全文

摘要： 第三章 第三节 内积空间的正交系 正交系与标准正交系 定义 设 \(\{z_\alpha\}_{\alpha\in I}\) 是内积空间 \(X\) 中由非零元素组成的集合。若当 \(\alpha\neq\beta\) 时，\((z_\alpha,z_\beta)=0\)，则称 \(\{z_\alp 阅读全文

摘要： 第三章 第二节 正交与正交分解 正交的定义 在内积空间中，我们可以类似于 \(n\) 维欧氏空间，当 \((x,y)=0\) 时，定义元素 \(x\) 和 \(y\) 正交。 定义 设 \(X\) 是内积空间，\(x,y \in X\)，如果 \((x,y)=0\)，则称 \(x\) 与 \(y\) 阅读全文

摘要： 第三章 第一节 内积空间的定义与基本性质 内积空间的定义 定义 设 \(H\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的线性空间，若对任意 \(x,y \in H\)，都有 \(\mathbb{K}\) 中的一个数 \((x,y)\) 与之对应，且对任意 \(x,y,z \in H\)、\(a \ 阅读全文

摘要： 第二章 第四节 赋范空间的进一步性质 赋范空间中的级数 在赋范空间 \((X, \|\cdot\|)\) 中，定义无穷级数 \[\sum_{k=1}^\infty x_k = x_1 + x_2 + \cdots, \]其中 \(x_k \in X\)。若级数的前 \(n\) 项和序列 \(S_n 阅读全文

摘要： 第二章 第三节 有限维赋范空间 定义 设 \(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|_2\) 是线性空间 \(X\) 上的两个范数，如果存在正数 \(a>0\)、\(b>0\)，使得对任意 \(x \in X\)，都有 \[a\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq b\| 阅读全文