泛函分析4-1 有界线性算子-有界线性算子的定义与性质

第四章 第一节 有界线性算子的定义与性质

有界线性算子和有界线性泛函的定义

定义（线性算子）
设 \(X\)、\(X_1\) 是赋范空间，\(\mathrm{D}(T) \subset X\) 是一个线性子空间，\(T\) 是从 \(\mathrm{D}(T)\) 到 \(X_1\) 的映射，满足

\[T(x+y)=Tx+Ty, \]

\[T(\alpha x)=\alpha Tx, \]

其中 \(x, y \in \mathrm{D}(T)\)，\(\alpha \in \mathbb{K}\)（\(\mathbb{K}\) 是数域），则称 \(T\) 是从 \(X\) 到 \(X_1\) 的线性算子，\(\mathrm{D}(T)\) 称为 \(T\) 的定义域。

注

• 一般地，\(\mathrm{D}(T) \varsubsetneqq X\)。如果 \(\mathrm{D}(T)=X\)，则称 \(T\) 是从 \(X\) 上到 \(X_1\) 的线性算子。
• 特别的，若 \(X_1=\mathbb{K}\)（数域），\(T: \mathrm{D}(T) \to \mathbb{K}\)，这样的线性算子称为是线性泛函。当 \(\mathbb{K}\) 是实(复)数域，称为是实(复)线性泛函。

类似于函数或者映射的连续性，我们可以定义线性算子的连续性：

定义（线性算子的连续性）
设 \(X\)、\(X_1\) 是赋范空间，\(T\) 是从 \(X\) 到 \(X_1\) 的线性算子。若 \(x_n \to x_0\) 时，\(Tx_n \to Tx_0\)，则称 \(T\) 在 \(x_0\) 点连续。

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定理
设 \(X\)、\(X_1\) 是赋范空间，\(T\) 是从 \(X\) 到 \(X_1\) 的线性算子。如果 \(T\) 在 \(x_0\) 点连续，则 \(T\) 在 \(X\) 上连续。

证明
设 \(T\) 在 \(x_0\) 点连续，即 \(x_n \to x_0 \Rightarrow Tx_n \to Tx_0\)。
如果 \(y_n \to y\)，则 \(y_n - y + x_0 \to x_0\)，于是 \(T(y_n - y + x_0) \to Tx_0\)。
由于算子是线性的，有 \(T(y_n - y) + Tx_0 \to Tx_0\)，于是 \(T(y_n - y) \to 0\)，则 \(Ty_n \to Ty\)。

注

• 对于上述证明来说，算子的线性是一个很重要的要求；对于线性算子来说，一点连续意味着点点连续。这个性质是由于算子具有线性这一特殊性质。
• 我们可能会有这样的猜想：一个线性算子等价于一个矩阵。但是矩阵运算是连续的，那这是否说明了线性算子也都是连续的呢？其实并不是如此，因为矩阵运算（通常说的是有限维的矩阵）的连续性依赖于矩阵范数的有界性，因此只有在有界线性算子时才可以连续，这也就是下面这个定理。

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定义（有界线性算子与有界线性泛函）
设 \(T\) 是从 \(X\) 到 \(X_1\) 的线性算子，若存在常数 \(M>0\)，使得

\[\|Tx\|_1 \leq M\|x\|,\quad \forall x \in X, \]

则称 \(T\) 为有界线性算子。

如果一个线性泛函 \(f\) 是有界的，即存在常数 \(M>0\)，使得

\[|f(x)| \leq M\|x\|,\quad \forall x \in X, \]

则称 \(f\) 是有界线性泛函。

注

• 需要特别注意的是，线性算子的有界和函数的有界意义并不相同。例如：在实数空间 \(\mathbb{R}\) 中，\(y=Tx=x\) 看作普通的实函数是无界函数；但是把 \(Tx=x\) 看作是从 \(\mathbb{R}\) 到 \(\mathbb{R}\) 的线性算子，则 \(T\) 是有界线性算子（\(M=1\)）。这里说的线性算子有界更像是在说该算子的范数（见“有界线性算子的范数”）是有限的。
• 另外虽然定义赋范空间与像赋范空间的两个范数（\(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|\)）可能不一样，但是有时候我们会不加区分。
• 有界线性算子把有界集映成有界集。

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定理（线性算子连续与有界的等价性）
设 \(X\)、\(X_1\) 是赋范空间，\(T\) 是从 \(X\) 到 \(X_1\) 的线性算子，则 \(T\) 是连续的当且仅当 \(T\) 是有界的。

证明

• “\(\Rightarrow\)” 由 \(T\) 连续 \(\Rightarrow T\) 有界（反证法）：
  假若 \(T\) 无界，则 \(\forall n>0\)，\(\exists x_n\)，使得 \(\|Tx_n\| > n\|x_n\|\)。
  令 \(y_n = \frac{x_n}{n\|x_n\|}\)，可见 \(\|y_n\| \to 0\)，于是 \(y_n \to 0 \ (n \to \infty)\)。
  由于 \(T\) 连续，所以 \(Ty_n \to T0 = 0\)，但由上式有 \(\|Ty_n\| = \frac{1}{n}\left\|\frac{Tx_n}{\|x_n\|}\right\| > 1\)，矛盾。

• “\(\Leftarrow\)” 由 \(T\) 有界 \(\Rightarrow T\) 连续：
  若 \(x_n \to x\)，由于 \(T\) 有界，存在 \(M>0\)，使得 \(\forall x \in X\)，有 \(\|Tx\| \leq M\|x\|\)。
  于是 \(\|Tx_n - Tx\| = \|T(x_n - x)\| \leq M\|x_n - x\| \to 0 \ (n \to \infty)\)，于是 \(T\) 是连续的。

注：线性算子连续等价于有界，这是线性算子一个重要的性质。因此本章介绍的有界线性算子其实也就是连续线性算子，他的很多性质都和连续函数有相似的地方。

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有界线性算子组成的赋范空间

定义（有界线性算子空间）
设 \(X\)、\(X_1\) 是赋范空间，\(\mathcal{B}(X, X_1)\) 表示从 \(X\) 到 \(X_1\) 的全体有界线性算子。如果 \(X=X_1\)，我们把 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 简记为 \(\mathcal{B}(X)\)。

注
在 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 中可以自然地定义线性运算，即对于任给的 \(A, B \in \mathcal{B}(X, X_1)\) 及 \(\alpha \in \mathbb{K}\)，定义：

\[(A+B)(x)=Ax+Bx,\quad (\alpha A)(x)=\alpha Ax. \]

又由于

\[\|(A+B)x\| = \|Ax+Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq (M_1+M_2)\|x\|, \]

\[\|\alpha A x\| = |\alpha|\|A x\| \leq |\alpha|M_1\|x\|, \]

所以 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 对加法、数乘运算封闭，因此 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 成为线性空间。

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定义（有界线性算子的范数）
设 \(T\in \mathcal{B}(X, X_1)\)，即存在 \(M>0\)，使得

\[\|Tx\| \leq M\|x\|,\quad \forall x \in X, \]

定义

\[\|T\| = \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|}, \]

\(\|T\|\) 称为有界线性算子 \(T\) 的范数。

注
由上述两式可得

\[\|T\| = \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} \leq \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{M\|x\|}{\|x\|} = M, \]

这说明 \(\|T\|\) 是良定义。由于对 \(\forall x \in X\)，\(\frac{\|Tx\|}{\|x\|} \leq \|T\|\)，有 \(\|Tx\| \leq \|T\|\|x\|\)，即 \(\|T\|\) 是使 \(\|Tx\| \leq M\|x\|\) 成立的最小的 \(M\)，于是

\[\|T\| = \inf \{M \mid \|Tx\| \leq M\|x\|, \forall x \in X\}. \]

由上述定义的 \(\|T\|\) 是线性算子空间 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 上的范数。事实上：

• （非负）\(\|T\| = \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} \geq 0\)；
• （正定）\(\|T\| = \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} = 0 \Rightarrow \|Tx\| = 0, \forall x \in X, x \neq 0 \Rightarrow T=0\)；
• （正齐次）\(\|\alpha T\| = \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|\alpha Tx\|}{\|x\|} = |\alpha| \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|}\)；
• （三角不等式）
  \[\begin{aligned} \|T_1 + T_2\| &= \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|(T_1 + T_2)x\|}{\|x\|} \leq \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|T_1 x\| + \|T_2 x\|}{\|x\|} \\ &\leq \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|T_1 x\|}{\|x\|} + \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|T_2 x\|}{\|x\|} = \|T_1\| + \|T_2\|. \end{aligned}\]
  因此 \(\|T\|\) 是一个范数。

注
上述讨论表明：\((\mathcal{B}(X, X_1), \|\cdot\|)\) 是一个赋范空间。上面定义的范数还有以下几种等价表示方式：

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定理（算子范数的等价表示）
设 \(T\) 是从赋范空间 \(X\) 到 \(X_1\) 的有界线性算子，则

\[\|T\| = \sup_{\|x\|=1} \|Tx\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\|. \]

证明
一方面，

\[\|T\| = \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} \geq \sup_{\substack{x \neq 0 \\ \|x\| \leq 1}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} \geq \sup_{\substack{x \neq 0 \\ \|x\| \leq 1}} \|Tx\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\| \geq \sup_{\|x\|=1} \|Tx\|; \]

另一方面，对于任意的 \(y \in X\)，\(y \neq 0\)，

\[\left\|T \frac{y}{\|y\|}\right\| \leq \sup_{\|x\|=1} \|Tx\|, \]

取上确界，得

\[\sup_{\substack{y \in X \\ y \neq 0}} \frac{\|Ty\|}{\|y\|} \leq \sup_{\|x\|=1} \|Tx\|, \]

即 \(\|T\| \leq \sup_{\|x\|=1} \|Tx\|\)。结合上面的不等式，有

\[\|T\| = \sup_{\|x\|=1} \|Tx\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\|. \]

注
在上述证明中我觉得
\(\|T\| = \sup_{\substack{x \in X \\ x \neq 0}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\|=1} \|Tx\|\leq\sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\|\) 是容易说明的，因此只要说明 \(\sup_{\|x\|=1} \|Tx\|= \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\|\) 即可。
反证，假如 \(\sup_{\|x\|=1} \|Tx\|< \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\|\)，则存在 \(x_0:\|x_0\|< 1\) 使得 \(\sup_{\|x\|=1} \|Tx\|<\|Tx_0\|< \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\|\)，则 \(\|\frac{x_0}{\|x_0\|}\|=1\)，且 \(\|T\frac{x_0}{\|x_0\|}\|>\|Tx_0\|>\sup_{\|x\|=1} \|Tx\|\)，产生矛盾。

注
当 \(A, B \in \mathcal{B}(X)\) 时，还可以定义

\[(A \cdot B)(x) = A(Bx) \quad (\text{记为 } AB), \]

显然 \(AB\) 也是线性算子，并且

\[\|AB\| \leq \|A\| \|B\|, \]

这是因为，\(\forall x \in X\)，

\[\|(AB)x\| = \|A(Bx)\| \leq \|A\| \|Bx\| \leq \|A\| \|B\| \|x\|. \]

进一步有

\[\|A^n\| \leq \|A\|^n. \]

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有界线性算子的例子

例（有限矩阵算子）
考虑 \(n\) 阶方阵 \(A=(a_{ij})\)（\(i, j=1,2, \cdots, n\)），对于任意的 \(x \in \mathbb{R}^n\)，\(x=(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n)\)，令

\[Ax = (a_{ij}) \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} = y, \]

其中 \(\eta_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} \xi_j\)，则 \(A\) 是从 \(\mathbb{R}^n\) 到 \(\mathbb{R}^n\) 的线性算子。由于

\[\begin{aligned} \|Ax\| &= \left(\sum_{i=1}^n |\eta_i|^2\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\sum_{i=1}^n \left|\sum_{j=1}^n a_{ij} \xi_j\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \\ &\leq \left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2\right)^{\frac{1}{2}} \left(\sum_{j=1}^n |\xi_j|^2\right)^{\frac{1}{2}} \leq \left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2\right)^{\frac{1}{2}} \|x\| = \|A\|_F\|x\|, \end{aligned}\]

因此 \(A\) 是有界线性算子。
一般来说 \(\|A\| \neq \left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2\right)^{\frac{1}{2}}\)，进一步地可以证明，定义在有限维空间上的线性算子都是有界线性算子。

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定理（有限维空间线性算子的有界性）
设 \((X, \|\cdot\|)\) 是有限维的赋范空间，\((Y, \|\cdot\|)\) 是任意一个赋范空间，\(T\) 是从 \(X\) 到 \(Y\) 的线性算子，则 \(T\) 是有界线性算子。

证明
在 \(X\) 上定义一个新范数

\[\|x\|_1 = \|x\| + \|Tx\|, \]

显然范数前三个条件 \(\|\cdot\|_1\) 都满足，且

\[\begin{aligned} \|x+y\|_1 &= \|x+y\| + \|T(x+y)\| = \|x+y\| + \|Tx + Ty\| \\ &\leq \|x\| + \|y\| + \|Tx\| + \|Ty\| = \|x\|_1 + \|y\|_1, \end{aligned}\]

即 \(\|\cdot\|_1\) 是 \(X\) 上定义的另一个范数。
因为 \(X\) 是有限维的赋范空间，而有限维空间上定义的范数都是等价的，于是 \(\|\cdot\|\) 和 \(\|\cdot\|_1\) 等价，即存在 \(K>0\)，使得对于任意的 \(x \in X\) 有

\[\|x\|_1 \leq K\|x\|. \]

根据新范数定义和上式，我们有

\[\|Tx\| \leq \|x\|_1 \leq K\|x\|, \]

这说明 \(T\) 是有界的。

注：为什么新范数不可以直接定义为 \(\|Tx\|\)？因为这样不一定满足范数的正定性（若 \(\exists x\) 满足 \(Tx=0\) 但 \(x \neq 0\)，则 \(\|Tx\|=0\)，这时不满足正定性）。

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例（无穷矩阵算子）
无穷矩阵 \((a_{ik})\)，满足

\[\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} |a_{ik}|^q < \infty \quad (q>1), \]

对 \(\forall x \in l^p\) \((\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1)\)，\(x=(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_k, \cdots)\)，令

\[\eta_i = \sum_{k=1}^{\infty} a_{ik} \xi_k \quad (i=1,2, \cdots), \]

定义线性算子：\(Tx = y\)，\(y=(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_k, \cdots)\)，则 \(T\) 是从 \(l^p\) 到 \(l^q\) 的有界线性算子。
事实上，

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{\infty} |\eta_i|^q &= \sum_{i=1}^{\infty} \left|\sum_{k=1}^{\infty} a_{ik} \xi_k\right|^q \\ &\leq \sum_{i=1}^{\infty} \left[\left(\sum_{k=1}^{\infty} |a_{ik}|^q\right)^{\frac{1}{q}} \left(\sum_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p\right)^{\frac{1}{p}}\right]^q \\ &= \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} |a_{ik}|^q \|x\|_p^q, \end{aligned}\]

即

\[\|Tx\|_q = \|y\|_q \leq \left(\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} |a_{ik}|^q\right)^{\frac{1}{q}} \|x\|_p, \]

这说明 \(T\) 是 \(l^p \to l^q\) 的有界线性算子。

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例（取值泛函）
设 \(T\) 是从 \(C[0,1]\) 到实数集 \(\mathbb{R}\) 的一个映射

\[T(x) = x(0), \quad \forall x \in C[0,1], \]

则 \(T\) 是一个有界线性泛函。
事实上，

\[|T(x)| = |x(0)| \leq \sup \{ |x(t)| \mid t \in [0,1] \} = \|x\|, \]

所以 \(\|T\| \leq 1\)。另一方面，对于 \(x_0(t) \equiv 1 \in C[0,1]\)，\(T(x_0) = 1 = \|x_0\|\)，于是 \(\|T\| = 1\)。

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例（内积型线性泛函）
设 \(a=(a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n\)，对于任意的 \(x=(x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^n\)，定义

\[f(x) = \sum_{i=1}^n a_i x_i, \]

则 \(f\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的有界线性泛函。

证明：\(f\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的线性泛函，因为

\[\begin{aligned} f(\alpha x + \beta y) &= \sum_{i=1}^n a_i (\alpha x_i + \beta y_i) = \alpha \sum_{i=1}^n a_i x_i + \beta \sum_{i=1}^n a_i y_i \\ &= \alpha f(x) + \beta f(y). \end{aligned}\]

\(f\) 的有界性可由 Hölder 不等式证出：

\[\begin{aligned} |f(x)| &= \left|\sum_{i=1}^n a_i x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n |a_i x_i| \\ &\leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^2\right)^{\frac{1}{2}} \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right)^{\frac{1}{2}} = \|a\| \|x\|, \end{aligned}\]

即 \(f\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的有界线性泛函。

注：以后会看到，\(\mathbb{R}^n\) 上的任何有界线性泛函一定可以写成上述形式，\(f(x)=(a, x)\)（内积），即 \(\mathbb{R}^n\) 上的有界线性泛函 \(f\) 可以由 \(\mathbb{R}^n\) 中的元素 \(a\) 确定。在 \(\mathbb{R}^3\) 中可看到，\(a=(a_1, a_2, a_3)\) 正是平面 \(f(x)=a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0\) 的法向量。

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例（积分型线性泛函）
设 \(y_0(t)\) 是 \([a, b]\) 上的连续函数，对于任意的 \(x \in C[a, b]\)，定义

\[f(x) = \int_{a}^{b} x(t) y_0(t) dt, \]

则 \(f\) 是 \(C[a, b]\) 上的线性泛函。事实上，

\[\begin{aligned} |f(x)| &\leq \int_{a}^{b} |x(t) y_0(t)| dt \\ &\leq \int_{a}^{b} |y_0(t)| \max_{a \leq t \leq b} |x(t)| dt = \left(\int_{a}^{b} |y_0(t)| dt\right) \|x\|, \end{aligned}\]

即 \(f\) 是 \(C[a, b]\) 上的有界线性泛函。

注

1. 可以证明 \(\|f\| = \int_{a}^{b} |y_0(t)| dt\)。
2. 特别地，若 \(y_0(t) \equiv 1\)，定积分 \(f(x) = \int_{a}^{b} x(t) dt\) 是 \(C[a, b]\) 上的有界线性泛函。

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例（无界微分算子）
不是所有的线性算子都是有界的，例如十分重要的微分算子就是一类无界算子。
设 \(X=C[0,1]\)，

\[T: \mathrm{D}(T) \subset C[0,1] \to C[0,1], \]

\[Tx(t) = x'(t), \]

其中 \(\mathrm{D}(T) = \{x(t) \in C[0,1] \mid x(t) \text{ 的导数连续}\}\)。
可以证明：\(T\) 是无界的线性算子。事实上，对于 \(\sin nt \in C[0,1]\)，我们有

\[T(\sin nt) = n \cos nt, \quad \|x_n\| = 1 \ (n \geq 2), \]

但是 \(\|Tx_n\| = n \to \infty \ (n \to \infty)\)，即 \(T\) 是无界的（注意 \(T\) 不是定义在全空间上的）。

注：微分算子是一类十分重要的无界线性算子，微分算子虽然是无界的，但它是闭的线性算子（闭算子的定义见4.5，闭的线性算子也有“类似连续”的很好的性质）。

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有界线性算子范数的计算

例（积分算子的范数）
设 \(T\) 是如下从 \(L[a, b]\) 到 \(C[a, b]\) 的线性算子，定义为

\[(Tx)(t) = \int_{a}^{t} x(\tau) d\tau, \]

则 \(T\) 是有界的，且 \(\|T\| = 1\)。

证明：对于任意的 \(x \in L[a, b]\)，\(\|x\| = \int_{a}^{b} |x(\tau)| d\tau\)，我们有

\[\|Tx\| = \max_{a \leq t \leq b} \left|\int_{a}^{t} x(\tau) d\tau\right| \leq \max_{a \leq t \leq b} \int_{a}^{t} |x(\tau)| d\tau = \int_{a}^{b} |x(\tau)| d\tau = \|x\|, \]

即 \(\|T\| \leq 1\)。

另一方面，令

\[x_0(t) = \frac{1}{b-a} \in L[a, b], \quad \|x_0\| = 1, \]

因此

\[\|T\| \geq \|Tx_0\| = \max_{a \leq t \leq b} \left|\int_{a}^{t} x_0(\tau) d\tau\right| = \max_{a \leq t \leq b} \int_{a}^{t} \frac{1}{b-a} d\tau = 1, \]

于是 \(\|T\| = 1\)。

注：上例中的线性算子 \(T\) 若看作是从 \(L[a, b]\) 到 \(L[a, b]\) 的线性算子，则 \(\|T\| = b - a\)。