泛函分析3-1 内积空间-内积空间的定义与基本性质

第三章 第一节 内积空间的定义与基本性质

内积空间的定义

定义
设 \(H\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的线性空间，若对任意 \(x,y \in H\)，都有 \(\mathbb{K}\) 中的一个数 \((x,y)\) 与之对应，且对任意 \(x,y,z \in H\)、\(a \in \mathbb{K}\)，满足：

1. 正定性：\((x,x) \geq 0\)，且 \((x,x) = 0\) 当且仅当 \(x = 0\)；
2. 共轭对称性：\((x,y) = \overline{(y,x)}\)；
3. 对第一个变元的线性性：\((ax,y) = a(x,y)\)；
4. 对第一个变元的可加性：\((x+y,z) = (x,z) + (y,z)\)。

则称 \((\cdot,\cdot)\) 是 \(H\) 上的一个内积，定义了内积的空间 \(H\) 称为内积空间。

注：对于实数域上的线性空间，可以定义实的内积空间，这时内积满足的第(2)条改为 \((x,y) = (y,x)\)。一般的内积对于后一个变量是共轭线性的：

• \((x,y+z) = \overline{(y+z,x)} = \overline{(y,x)} + \overline{(z,x)} = (x,y) + (x,z)\)；
• \((x,ay) = \overline{(ay,x)} = \overline{a}\,\overline{(y,x)} = \overline{a}(x,y)\)。

例（内积）
对 \(x = (x_1, \cdots, x_n),\; y = (y_1, \cdots, y_n) \in \mathbb{R}^n\)，定义

\[(x,y) = \sum_{k=1}^n x_k y_k \]

容易验证它是一个内积，因此 \(\mathbb{R}^n\) 是一个实的内积空间。

在复的 \(n\) 维向量空间 \(\mathbb{C}^n\) 中，类似地定义内积

\[(x,y) = \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k} \]

其中 \(x = (x_1, \cdots, x_n),\; y = (y_1, \cdots, y_n) \in \mathbb{C}^n\)。在此内积下，\(\mathbb{C}^n\) 成为一个内积空间。

由内积空间产生的赋范空间

定理（Schwarz 不等式）
设 \(H\) 是内积空间，则对任意 \(x,y \in H\)，有

\[|(x,y)|^2 \leq (x,x)(y,y) \]

其中等号当且仅当 \(x\) 与 \(y\) 线性相关（即 \(x = -\lambda y\)）时成立。

证明
任取 \(\lambda \in \mathbb{C}\)，则对任意 \(x,y \in H\)，有

\[(x + \lambda y, x + \lambda y) = (x,x) + \overline{\lambda}(x,y) + \lambda(y,x) + |\lambda|^2(y,y) \geq 0 \]

设 \(y \neq 0\)，令 \(\lambda = -\frac{(x,y)}{(y,y)}\)，代入上式得

\[(x,x) - 2\frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} + \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} \geq 0 \]

因此 \(|(x,y)|^2 \leq (x,x)(y,y)\)。当 \(y = 0\) 时，\((x,y) = (y,y) = 0\)，不等式显然成立。

注：在例 \ref{exp内积} 的内积 \((x,y) = \sum_{k=1}^n x_k y_k\) 可知，Cauchy 不等式

\[\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \]

是 Schwarz 不等式的一个特例。

定理
在内积空间 \(H\) 上，对于任意的 \(x \in H\)，定义

\[\|x\| = \sqrt{(x,x)} \]

则 \(\|\cdot\|\) 是 \(H\) 上的一个范数。于是每个内积空间 \(H\) 按范数 \(\|x\| = \sqrt{(x,x)}\) 成为一个赋范空间。

事实上由 Schwarz 不等式得

\[\begin{align*} \|x + y\|^2 = (x + y, x + y) &\leq |(x + y, x)| + |(x + y, y)|\\ &\leq \|x + y\| \|x\| + \|x + y\| \|y\| \\ &= \|x + y\| (\|x\| + \|y\|) \end{align*} \]

于是

\[\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| \]

故 \(\|x\| = \sqrt{(x,x)}\) 是 \(H\) 上由内积产生的范数。

注：内积空间中定义了范数，由范数又可以定义距离，这样内积空间就有了赋范空间和距离空间中所具有的性质。

综上，Schwarz 不等式可以写成以下形式：

\[|(x,y)| \leq \|x\| \cdot \|y\| \]

由此可得

定理
设 \(H\) 是内积空间，则内积 \((x,y)\) 是关于 \(x,y\) 的连续函数，即当 \(x_n \to x\)、\(y_n \to y\) 时，有 \((x_n,y_n) \to (x,y) \ (n \to \infty)\)。

证明
由 Schwarz 不等式，有

\[\begin{align*} |(x_n,y_n) - (x,y)| &\leq |(x_n,y_n) - (x_n,y)| + |(x_n,y) - (x,y)|\\ &= |(x_n,y_n - y)| + |(x_n - x,y)|\\ &\leq \|x_n\| \|y_n - y\| + \|x_n - x\| \|y\| \end{align*} \]

因为点列 \(\{x_n\}\) 收敛，所以数列 \(\{\|x_n\|\}\) 有界，故 \((x_n,y_n) \to (x,y) \ (n \to \infty)\)。

定理
设集合 \(M\) 在内积空间 \(H\) 中稠密，若 \(x_0 \in H\) 且满足

\[(x,x_0) = 0, \quad \forall x \in M \]

则 \(x_0 = 0\)。

证明
由 \(M\) 在 \(H\) 中稠密，对于 \(x_0 \in H\)，存在 \(x_n \in M \ (n=1,2,\cdots)\) 使得 \(x_n \to x_0 \ (n \to \infty)\)。由内积的连续性，有

\[(x_0,x_0) = \left( \lim_{n \to \infty} x_n, x_0 \right) = \lim_{n \to \infty} (x_n,x_0) = 0 \]

所以 \(x_0 = 0\)。

内积和相应范数的关系

前面我们说内积空间可以产生一个对应的赋范空间，那么赋范空间一定存在其对应的内积空间吗？也就是说，对于赋范空间 \((X,\|\cdot\|)\)，是否有内积空间 \((X,\left\langle \cdot \right\rangle )\) 使得 \(\|x\|^2 = \left\langle x,x \right\rangle\)？答案是不一定的，这是由于内积空间一定满足下面这个性质，然而一般的赋范空间不一定有这种性质。

定理
设 \(H\) 是内积空间，对于任意的 \(x,y \in H\)，有：

• (i) 平行四边形法则
  \[\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\left(\|x\|^2 + \|y\|^2\right) \]

• (ii) 极化恒等式
  \[(x,y) = \frac{1}{4}\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + \text{i}\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2\right) \]

证明
由内积定义的范数，可知：

\[\begin{align*} \|x + y\|^2 &= (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) \tag{a}\\ \|x - y\|^2 &= (x,x) - (x,y) - (y,x) + (y,y) \tag{b}\\ \|x + iy\|^2 &= (x,x) - i(x,y) + i(y,x) + (y,y) \tag{c}\\ \|x - iy\|^2 &= (x,x) + i(x,y) - i(y,x) + (y,y) \tag{d} \end{align*} \]

由 \((a)+(b)\) 得到平行四边形法则；由 \((a)-(b)+i(c)-i(d)\) 可得极化恒等式。

注：平行四边形法则的几何解释为：平行四边形对角线的平方和等于 4 条边的平方和，即

\[\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\left(\|x\|^2 + \|y\|^2\right) \]

这是内积空间的特征性质。在有了正交性的概念以后，如果 \(x \perp y\)，平行四边形法则成为勾股定理

\[\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x + y\|^2 \]

下面这个定理告诉我们让范数成为一个内积产生的范数的充要条件就是平行四边形法则，略去证明。

定理
设 \(X\) 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可以在 \(X\) 中定义一个内积，使得由这个内积产生的范数正好是 \(X\) 中原来的范数。

注：综上，范数是由内积产生的充要条件是：平行四边形法则成立。如果这个范数可以由内积产生，这个赋范空间即可以看作内积空间。
但不是所有的范数都可以由内积产生。

例
在 \(C[0,1]\) 中，令

\[x(t) = 1,\quad y(t) = t \]

则 \(x + y = 1 + t\)，\(x - y = 1 - t\)，于是

\[\|x\| = 1,\ \|y\| = 1,\ \|x + y\| = 2,\ \|x - y\| = 1 \]

则 \(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 5\)，但是 \(\|x\|^2 + \|y\|^2 = 2\)。根据平行四边形法则，\(C[0,1]\) 中的范数不是由内积产生的。

Hilbert 空间

定义
完备的内积空间称为 Hilbert 空间。

根据“完备空间的任何一个闭子空间也是完备的”，得到：

定理
设 \(H\) 是一个 Hilbert 空间，\(Y \subset H\) 是一个线性子空间，那么 \(Y\) 是一个 Hilbert 空间当且仅当 \(Y\) 是闭的。

例

• \(\mathbb{R}^n\)（\(\mathbb{C}^n\)）是 Hilbert 空间。
• \(l^2\) 是 Hilbert 空间：对任意 \(x,y \in l^2\)，\(x = (\xi_k)\)，\(y = (\eta_k)\)，定义内积
  \[(x,y) = \sum_{k=1}^\infty \xi_k \overline{\eta_k} \]
  由它产生的范数
  \[\|x\| = \left( \sum_{k=1}^\infty |\xi_k|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \]
  是完备的，所以 \(l^2\) 是 Hilbert 空间。
• \(L^2[a,b]\) 是 Hilbert 空间：对任意 \(x,y \in L^2[a,b]\)，定义
  \[(x,y) = \int_a^b x(t) \overline{y(t)} dt \]
  由这个内积产生的范数
  \[\|x\| = \left[ \int_a^b |x(t)|^2 dt \right]^{\frac{1}{2}} \]
  是完备的，所以 \(L^2[a,b]\) 是 Hilbert 空间。
• 在全体连续函数组成的线性空间 \(X\) 上，定义
  \[(x,y) = \int_a^b x(t) \overline{y(t)} dt \]
  \(X\) 是一个内积空间。由此内积产生的范数为
  \[\|x\| = \left[ \int_a^b |x(t)|^2 dt \right]^{\frac{1}{2}} \]
  但 \(X\) 在范数 \(\|\cdot\|\) 下不完备，于是 \(X\) 是一个内积空间，但不是 Hilbert 空间。