泛函分析2-4 赋范空间-赋范空间的进一步性质

第二章 第四节 赋范空间的进一步性质

赋范空间中的级数

在赋范空间 \((X, \|\cdot\|)\) 中，定义无穷级数

\[\sum_{k=1}^\infty x_k = x_1 + x_2 + \cdots, \]

其中 \(x_k \in X\)。若级数的前 \(n\) 项和序列 \(S_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n\) 收敛，即存在 \(x \in X\)，使得 \(\|S_n - x\| \to 0\)（\(n \to \infty\)），则称 \(x\) 是级数的和，记为 \(x = \sum_{k=1}^\infty x_k\)。

定理（级数收敛与空间完备性的关系）
设 \((X, \|\cdot\|)\) 是赋范空间，则以下结论成立：

1. 若 \(X\) 完备，且正项级数 \(\sum_{k=1}^\infty \|x_k\|\) 收敛，则级数 \(\sum_{k=1}^\infty x_k\) 收敛，且 \(\left\| \sum_{k=1}^\infty x_k \right\| \leq \sum_{k=1}^\infty \|x_k\|\)。
2. 反之，若在赋范空间 \(X\) 中，任何满足 \(\sum_{k=1}^\infty \|x_k\| < \infty\) 的级数 \(\sum_{k=1}^\infty x_k\) 都收敛，则 \(X\) 是 Banach 空间。

注（证明思路）
(1) 该结论类似于“绝对收敛推出收敛”。要证级数 \(\sum_{k=1}^\infty x_k\) 收敛，只需证明前 \(n\) 项和序列 \(\{S_n\}\) 是 Cauchy 列。由 \(\sum_{k=1}^\infty \|x_k\|\) 收敛，对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N\)，当 \(n > m > N\) 时，\(\sum_{k=m+1}^n \|x_k\| < \varepsilon\)，从而

\[\|S_n - S_m\| = \left\| \sum_{k=m+1}^n x_k \right\| \leq \sum_{k=m+1}^n \|x_k\| < \varepsilon, \]

故 \(\{S_n\}\) 是 Cauchy 列。因 \(X\) 完备，故 \(\{S_n\}\) 收敛。
(2) 要证 \(X\) 完备，只需证明 \(X\) 中的任意 Cauchy 列 \(\{x_n\}\) 都收敛。取子列 \(\{x_{n_k}\}\)，使得 \(\|x_{n_{k+1}} - x_{n_k}\| < \frac{1}{2^k}\)（\(k=1,2,\cdots\)），则

\[\sum_{k=1}^\infty \|x_{n_{k+1}} - x_{n_k}\| < \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} < \infty. \]

由条件，级数 \(x_{n_1} + \sum_{k=1}^\infty (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})\) 收敛，即 \(x_{n_k} \to x\)（\(k \to \infty\)）。再由 \(\{x_n\}\) 是 Cauchy 列，可证 \(x_n \to x\)，故 \(X\) 完备。

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赋范空间的商空间

通过等价关系构造新空间——商空间，是泛函分析中的重要方法。

定义（等价关系）
设 \(M\) 是赋范空间 \(X\) 的线性子空间。对任意 \(x_1, x_2 \in X\)，若 \(x_1 - x_2 \in M\)，则称 \(x_1\) 和 \(x_2\) 关于 \(M\) 等价，记为 \(x_1 \sim x_2\)。

注（等价关系的性质）
等价关系满足以下性质：

• (i) 自反性：因 \(x - x = 0 \in M\)，故 \(x \sim x\)；
• (ii) 对称性：若 \(x \sim y\)，则 \(x - y \in M\)，又 \(M\) 是子空间，故 \(y - x = -(x - y) \in M\)，即 \(y \sim x\)；
• (iii) 传递性：若 \(x \sim y\) 且 \(y \sim z\)，则 \(x - z = (x - y) + (y - z) \in M\)，即 \(x \sim z\)。

例（等价关系的实例）
在 \(L^p(E)\) 中，设 \(M = \{x(t) \mid x(t) \text{是} E \text{上几乎处处为零的可测函数}\}\)，则 \(M\) 是 \(L^p(E)\) 的线性子空间。对 \(x_1, x_2 \in L^p(E)\)，\(x_1 \sim x_2\) 等价于 \(x_1\) 和 \(x_2\) 在 \(E\) 上几乎处处相等。

定义（商空间）
设 \(M\) 是 \(X\) 的线性子空间，将与 \(x \in X\) 等价的全体元素记为 \(\tilde{x}\)（即 \(\tilde{x} = \{y \in X \mid y \sim x\}\)，称为以 \(x\) 为代表的等价类）。定义等价类的加法和数乘：

\[\tilde{x} + \tilde{y} = \widetilde{x + y}, \quad \alpha\tilde{x} = \widetilde{\alpha x} \quad (\alpha \in \mathbb{K}), \]

则所有等价类构成的集合是线性空间，称为 \(X\) 关于 \(M\) 的商空间，记为 \(X/M\)。

定义（赋范商空间）
设 \(X\) 是赋范空间，\(M\) 是 \(X\) 的闭子空间。在商空间 \(X/M\) 中定义

\[\|\tilde{x}\| = \inf_{y \in \tilde{x}} \|y\|, \]

则 \(\|\tilde{x}\|\) 满足范数的正定、齐次和三角不等式，\((X/M, \|\cdot\|)\) 是赋范空间，称为赋范商空间。

例（商空间的实例1）
复数平面 \(\mathbb{C}\) 中，\(\mathbb{R}\) 是 \(\mathbb{C}\) 的闭子空间。商空间 \(\mathbb{C}/\mathbb{R} = \{\tilde{x} \mid x \in \mathbb{C}\}\)，其中 \(\tilde{x} = \{y \in \mathbb{C} \mid \text{Im}(y) = \text{Im}(x)\}\)。定义范数 \(\|\tilde{x}\| = |\text{Im}(x)|\)，则 \((\mathbb{C}/\mathbb{R}, \|\cdot\|)\) 是赋范商空间，且 \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\) 可等同于全体纯虚数构成的空间。

例（商空间的实例2）
设 \(X = \{E \text{上所有} p \text{次可积的函数}\}\)，\(M = \{E \text{上几乎处处为零的可测函数}\}\)，则 \(L^p(E) = X/M\)，即 \(L^p(E)\) 可看作 \(X\) 关于 \(M\) 的商空间。