泛函分析3-4 内积空间-正交基与正交列的完备性

第三章 第四节 正交基与正交列的完备性

正交基

例1
在 \(\mathbb R^3\) 中, \(e_1=(1,0,0)\), \(e_2=(0,1,0)\) 是 \(\mathbb R^3\) 中的标准正交列, \(x=(1,1,1)\in\mathbb R^3\), 但是

\[(x,e_1)e_1+(x,e_2)e_2\neq x. \]

例2
设 \(\{e_n\}\) 是 Hilbert 空间 \(H\) 中的标准正交列, 且 \(S=\{e_{2n}\}_{n\ge1}\) 是 \(H\) 中的由无穷多个元素组成的标准正交列, 但是对于 \(x=e_1\), 无论如何选择 \(a_{2n}\),

\[x\neq \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}e_{2n}. \]

事实上, 若

\[x=e_1=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}e_{2n}, \]

对所有的 \(m\), 我们有

\[0=(e_1,e_{2m})=\Big(\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}e_{2n},e_{2m}\Big)=a_{2m}, \]

因此 \(x=\sum a_{2n}e_{2n}=0\), 矛盾.

注
这说明: 即使是由无穷多个元素组成的标准正交列, 根据定理5, \(x\) 关于这个正交列的 Fourier 级数存在, 但它可能不收敛到 \(x\), 原因是这个正交列不是正交基, 或者说正交列不完备.

定义1
设 \(\{z_\alpha\}_{\alpha\in I}\) 是 \(X\) 中的正交系, 如果它张成的子空间的闭包是全空间 \(X\), 则称 \(\{z_\alpha\}_{\alpha\in I}\) 为 \(X\) 的正交基.

例3
在空间 \(\mathbb R^n\) 中

\[e_k=(0,0,\dots,0,1,0,\dots,0),\qquad k=1,2,\dots,n, \]

是 \(\mathbb R^n\) 中的标准正交基.

例4
设

\[e_n=(0,0,\dots,0,1,0,\dots),\qquad n=1,2,\dots, \]

是 \(l^2\) 的标准基. 则 \(\{e_n\}\) 是 \(l^2\) 中的标准正交基.

证明
由 \(l^2\) 中定义的内积: 对任意 \(x,y\in l^2\), \(x=\{\xi_k\}\), \(y=\{\eta_k\}\), 定义

\[(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty}\xi_k\overline{\eta_k}. \]

(1) 易验证 \(\{e_n\}\) 是 \(l^2\) 中的标准正交系.

(2) 下面证明它是标准正交基. 按照正交基的定义, 只需证明正交系 \(\{e_n\}\) 张成的子空间的闭包是全空间. 对于任意的 \(x=(\xi_k)\in l^2\), 令 \(x_n=\sum_{k=1}^n \xi_ke_k\). 则

\[\|x_n-x\|=\Big(\sum_{k=n+1}^{\infty}|\xi_k|^2\Big)^{1/2}\to 0\qquad (n\to\infty). \]

故 \(x\) 可以由 \(\{e_n\}\) 的有限线性组合逼近. 因此 \(\{e_n\}\) 是一个标准正交基.

正交列的完备性

定义2
设 \(X\) 是内积空间, \(\{e_n\}\) 是 \(X\) 中的标准正交列, \(x\in X\). 若

\[\sum_{k=1}^{\infty}|(x,e_k)|^2=\|x\|^2, \tag{3.4.1} \]

则称 \(x\) 关于 \(\{e_n\}\) 的 Parseval 等式成立.

如果对于任意的 \(x\in H\), Parseval 等式成立, 则称 \(\{e_n\}\) 是完备的.

定理6
设 \(\{e_n\}\) 是 Hilbert 空间 \(H\) 中的一个标准正交列. 下列命题是等价的:

1. \(\{e_n\}^{\perp}=\{0\}\)（即 \(\{e_n\}\) 是完全的）；
2. 对所有的 \(x\in H\), \(x=\sum_{k=1}^{\infty}(x,e_k)e_k\)（即 \(x\) 的 Fourier 级数收敛到 \(x\)）；
3. \(\overline{\operatorname{span}\{e_n\}}=H\)（即 \(\{e_n\}\) 是 \(H\) 中的一个标准正交基）；
4. 对所有的 \(x\in H\), \(\|x\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}|(x,e_k)|^2\)（即 \(\{e_n\}\) 是完备的, 亦即对任意的 \(x\in H\), Parseval 等式成立）.

证明
(1)\(\Rightarrow\)(2) 设

\[y=x-\sum_{k=1}^{\infty}(x,e_k)e_k. \]

已知 \(\{e_n\}^{\perp}=\{0\}\), 要证 \(y=0\). 对任何 \(m\in\mathbb N\), 根据内积的连续性,

\[(y,e_m)=(x,e_m)-\lim_{k\to\infty}\Big(\sum_{n=1}^k (x,e_n)e_n,e_m\Big)=(x,e_m)-\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k (x,e_n)(e_n,e_m)=0. \]

由于 \(\{e_n\}^{\perp}=\{0\}\), 所以有 \(y=0\), 即 \(x=\sum_{k=1}^{\infty}(x,e_k)e_k\).

(2)\(\Rightarrow\)(3) 由正交基的定义, 只需证明 \(\overline{\operatorname{span}\{e_n\}}=H\). 对任何 \(x\in H\), 由条件 (2)

\[x=\sum_{k=1}^{\infty}(x,e_k)e_k=\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m (x,e_k)e_k, \]

而有限和属于 \(\operatorname{span}\{e_n\}\), 所以 \(x\in\overline{\operatorname{span}\{e_n\}}\).

(3)\(\Rightarrow\)(1) 只要证明对任意 \(y\in\{e_n\}^{\perp}\), 有 \(y=0\). 事实上, 若 \(y\in\{e_n\}^{\perp}\), 则 \((y,e_n)=0\)（\(\forall n\)）, 故 \(\operatorname{span}\{e_n\}\subset \{y\}^{\perp}\). 又 \(\{y\}^{\perp}\) 是闭子空间, 于是 \(\overline{\operatorname{span}\{e_n\}}\subset \{y\}^{\perp}\). 由条件 \(\overline{\operatorname{span}\{e_n\}}=H\), 可得 \(H\subset \{y\}^{\perp}\), 从而 \((y,y)=0\), 故 \(y=0\).

(2)\(\Rightarrow\)(4) 对所有的 \(x\in H\), 运用内积的性质和范数的连续性,

\[\|x\|^2=\left\|\sum_{k=1}^{\infty}(x,e_k)e_k\right\|^2=\lim_{m\to\infty}\left\|\sum_{k=1}^m (x,e_k)e_k\right\|^2=\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m |(x,e_k)|^2=\sum_{k=1}^{\infty}|(x,e_k)|^2. \]

(4)\(\Rightarrow\)(1) 设 \(x\in H\) 满足 \((x,e_n)=0\)（\(n=1,2,\dots\)）. 由 Parseval 等式 \((3.4.1)\),

\[\|x\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}|(x,e_k)|^2=0, \]

于是 \(x=0\).

注
我们看到, 当 \(\{e_n\}\) 是标准正交基时, Bessel 不等式中的“小于等于号”成为等号, 即成为 Parseval 等式.

定理7
设 \(\{e_n\}\) 是 Hilbert 空间的标准正交基, 则 \(x\) 关于 \(\{e_n\}\) 的 Fourier 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}(x,e_n)e_n\) 收敛到 \(x\).

标准正交基的例子

定理8
三角函数系

\[\{e_n\}=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos kt,\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin kt\right\}_{k\ge1} \]

是 \(L^2[-\pi,\pi]\) 中的一组标准正交基.

证明
\(\{e_n\}\) 是标准正交系. 根据定义1, 只要证明 \(\operatorname{span}\{e_n\}\) 在 \(L^2[-\pi,\pi]\) 中稠密即可.

(1) 连续函数在 \(L^2[-\pi,\pi]\) 中稠密. 即对于任意的 \(x\in L^2[-\pi,\pi]\) 和 \(\varepsilon>0\), 都存在周期为 \(2\pi\) 的连续函数 \(y(t)\), 使得

\[\|x(t)-y(t)\|<\frac{\varepsilon}{2}. \]

(2) 对于上面的连续函数 \(y(t)\) 以及 \(\varepsilon>0\), 根据 Stone--Weierstrass 定理, 存在三角“多项式”

\[T(t)=a_0+\sum_{k=1}^n a_k\cos kt+b_k\sin kt, \]

使得

\[|y(t)-T(t)|<\frac{\varepsilon}{2}. \]

(3) 于是

\[\|x(t)-T(t)\|_{L^2}\le \|x(t)-y(t)\|_{L^2}+\|y(t)-T(t)\|_{L^2}<\varepsilon. \]

即全体三角“多项式”（\(\operatorname{span}\{e_n\}\)）在 \(L^2[-\pi,\pi]\) 中稠密. 即 \(\{e_n\}\) 是 \(L^2[-\pi,\pi]\) 中的一组标准正交基.

注
这样对于任一函数 \(x(t)\in L^2[-\pi,\pi]\), 都有

\[x(t)=\sum_{n=1}^{\infty}(x,e_n)e_n=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos kt+b_k\sin kt,\qquad \|x\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}|(x,e_k)|^2. \tag{3.4.2} \]

这里的相等, 是在 \(L^2\) 空间中“积分意义下的平方平均”收敛, 即当 \(n\to\infty\),

\[\int_{-\pi}^{\pi}\left|x(t)-\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n a_k\cos kt+b_k\sin kt\right)\right|^2dt\to 0. \]

这与数学分析中经典的 Fourier 级数的收敛意义不同, 数学分析中 Fourier 级数的收敛是指逐点收敛. 这里的收敛是在 \(L^2\) 空间中按范数收敛。