泛函分析2-3 赋范空间-有限维赋范空间

第二章 第三节 有限维赋范空间

定义
设 \(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|_2\) 是线性空间 \(X\) 上的两个范数，如果存在正数 \(a>0\)、\(b>0\)，使得对任意 \(x \in X\)，都有

\[a\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq b\|x\|_1 \]

则称范数 \(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|_2\) 是等价的。

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命题
在两个等价范数产生的赋范空间中，点列 \(\{x_n\}\) 的收敛性完全一致。

证明
由范数等价的定义，存在 \(a>0\)、\(b>0\) 使得 \(a\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq b\|x\|_1\)。

• 若 \(\|x_n - x_0\|_1 \to 0 \ (n \to \infty)\)，则由 \(a\|x_n - x_0\|_1 \leq \|x_n - x_0\|_2\)，可得 \(\|x_n - x_0\|_2 \to 0\)；
• 反之，若 \(\|x_n - x_0\|_2 \to 0 \ (n \to \infty)\)，则由 \(\|x_n - x_0\|_2 \leq b\|x_n - x_0\|_1\)，可得 \(\|x_n - x_0\|_1 \to 0\)。
  结合上述两点，点列在两个赋范空间中的收敛性一致，命题得证。

注：在等价范数诱导的赋范空间中，同一元素的范数数值可能不同，但空间中点列的收敛性、闭集与开集的判定、完备性等拓扑性质完全相同。

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推论
设 \(X\) 是线性空间，\(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|_2\) 是 \(X\) 上的等价范数，令 \(d_1(x,y)=\|x-y\|_1\)、\(d_2(x,y)=\|x-y\|_2\) 分别为两范数诱导的距离，则：

1. 点列 \(\{x_n\}\) 在 \((X,d_1)\) 中收敛到 \(x\)，当且仅当 \(\{x_n\}\) 在 \((X,d_2)\) 中收敛到 \(x\)；
2. 点列 \(\{x_n\}\) 是 \((X,d_1)\) 中的 Cauchy 列，当且仅当 \(\{x_n\}\) 是 \((X,d_2)\) 中的 Cauchy 列；
3. 距离空间 \((X,d_1)\) 是完备的，当且仅当 \((X,d_2)\) 是完备的。

注：赋范空间 \((X,\|\cdot\|_1)\) 与 \((X,\|\cdot\|_2)\) 不仅代数结构同构（元素与线性运算一致），且拓扑结构同胚（收敛性、闭集/开集完全相同）。

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例
在 \(\mathbb{R}^n\) 上定义三个常用范数（设 \(x=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n) \in \mathbb{R}^n\)）：

• 1-范数：\(\|x\|_1 = \sum_{k=1}^n |\xi_k|\)；
• 2-范数：\(\|x\| = \left( \sum_{k=1}^n |\xi_k|^2 \right)^{\frac{1}{2}}\)；
• \(\infty\)-范数：\(\|x\|_\infty = \max_{1 \leq k \leq n} |\xi_k|\)。

这三个范数满足以下不等式：

\[\|x\| \leq \|x\|_1 \leq \sqrt{n}\|x\| \]

\[\|x\|_\infty \leq \|x\| \leq \sqrt{n}\|x\|_\infty \]

因此 \(\|x\|\)、\(\|x\|_1\)、\(\|x\|_\infty\) 彼此等价，诱导的距离空间中点列收敛性一致（均等价于按坐标收敛）。

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事实上，对于有限维赋范空间，有一个十分有趣的结论。

定理
任意实的 \(n\) 维赋范空间 \((X,\|\cdot\|)\) 必与 \(\mathbb{R}^n\) 代数同构且拓扑同胚。

证明

• 代数同构：因 \(X\) 是 \(n\) 维赋范空间，存在一组基 \(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)，对任意 \(x \in X\)，可唯一表示为

  \[x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + \cdots + \xi_n e_n \]

  定义映射 \(T: X \to \mathbb{R}^n\)，使得 \(T(x) = (\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n) \in \mathbb{R}^n\)，则易证 \(T\) 是双射且保持线性运算，故 \(X\) 与 \(\mathbb{R}^n\) 代数同构。

• 拓扑同胚：需证明 \(X\) 上的范数 \(\|\cdot\|\) 与 \(\mathbb{R}^n\) 上的范数（如 2-范数 \(\|\bar{x}\| = \left( \sum_{k=1}^n |\xi_k|^2 \right)^{\frac{1}{2}}\)）等价。
  首先，由三角不等式与 Cauchy-Schwarz 不等式：

  \[\|x\| = \left\| \sum_{k=1}^n \xi_k e_k \right\| \leq \sum_{k=1}^n |\xi_k| \|e_k\| \leq \left( \sum_{k=1}^n |\xi_k|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \sum_{k=1}^n \|e_k\|^2 \right)^{\frac{1}{2}} = \beta \|\bar{x}\| \]

  其中 \(\beta = \left( \sum_{k=1}^n \|e_k\|^2 \right)^{\frac{1}{2}}\) 是与 \(x\) 无关的常数。

  其次，在 \(\mathbb{R}^n\) 的单位球面 \(S = \{\bar{x} \in \mathbb{R}^n \mid \|\bar{x}\| = 1\}\) 上定义函数

  \[f:S \to X, \quad \bar{x}=(\xi_1,\cdots,\xi_n) \mapsto \|x\| = \|\xi_1 e_1 + \cdots + \xi_n e_n\| \]

  因 \(S\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界闭集（列紧集），且 \(f(\bar{x}) > 0\)（因为基线性无关，所以 \(x \neq 0\)），故 \(f(\bar{x})\) 在 \(S\) 上取到最小值 \(\alpha > 0\)，即对任意 \(\bar{x} \in S\)，有 \(f(\bar{x}) \geq \alpha\)。

  则对任意 \(x \in X\)（\(x \neq 0\)），\(\frac{\bar{x}}{\|\bar{x}\|} \in S\)，故 \(f\left( \frac{\bar{x}}{\|\bar{x}\|} \right) = \left\| \frac{x}{\|\bar{x}\|} \right\| \geq \alpha\)，即 \(\|x\| \geq \alpha \|\bar{x}\|\)。

  结合上述两方面，\(\alpha \|\bar{x}\| \leq \|x\| \leq \beta \|\bar{x}\|\)，故 \(X\) 与 \(\mathbb{R}^n\) 拓扑同胚。

注：

• 实有限维赋范空间的范数均与 \(\mathbb{R}^n\) 的范数等价，其收敛性等价于按坐标收敛；
• 复有限维赋范空间可类似证明与 \(\mathbb{C}^n\) 代数同构且拓扑同胚，且所有有限维赋范空间都是 Banach 空间（因 \(\mathbb{R}^n\)、\(\mathbb{C}^n\) 完备）。

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定理
赋范空间 \(X\) 是有限维的，当且仅当 \(X\) 中的任意有界集都是列紧集。

证明

• 必要性：若 \(X\) 是有限维的，则 \(X\) 与 \(\mathbb{R}^n\)（或 \(\mathbb{C}^n\)）拓扑同胚。由 \(\mathbb{R}^n\) 中“有界闭集必列紧”的性质，可知 \(X\) 中的任意有界集都是列紧集。

• 充分性：（反证法）假设 \(X\) 是无穷维的，考虑单位球面 \(S = \{x \in X \mid \|x\| = 1\}\)（有界集）。
  任取 \(x_1 \in S\)，记 \(X_1 = \text{span}\{x_1\}\)（\(X\) 的 1 维闭子空间）。因 \(X\) 无穷维，\(X_1\) 是 \(X\) 的真闭子空间；
  由 Riesz 引理，存在 \(x_2 \in S\) 使得 \(\|x_2 - x\| > \frac{1}{2}\) 对所有 \(x \in X_1\) 成立，记 \(X_2 = \text{span}\{x_1,x_2\}\)（2 维闭子空间）；
  重复上述步骤，可构造无穷点列 \(\{x_n\} \subset S\)，满足对任意 \(i \neq j\)，\(\|x_i - x_j\| > \frac{1}{2}\)。
  该点列 \(\{x_n\}\) 是有界集 \(S\) 中的序列，但无收敛子列（任意两元素距离大于 \(\frac{1}{2}\)），与“有界集必列紧”矛盾，故 \(X\) 必为有限维。

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推论
设 \(X\) 是无穷维赋范空间，则其单位球 \(B(0,1) = \{x \in X \mid \|x\| < 1\}\) 和单位球面 \(S(0,1) = \{x \in X \mid \|x\| = 1\}\) 都不是列紧集。

注：

• 无穷维赋范空间中，即使是单位球（面）这样的有界集也不列紧，这是有限维与无穷维赋范空间的核心区别；
• 列紧性是距离空间的重要性质，有限维空间中“有界闭集=列紧集”的结论在无穷维空间中不再成立。