泛函分析4-2 有界线性算子-有界线性算子空间的收敛性与完备性

第四章 第二节 有界线性算子空间的收敛性与完备性

有界线性算子空间的收敛性

定义（有界线性算子列的收敛性）
设 \(A_n, A \in \mathcal{B}(X, X_1)\)，如果 \(\|A_n - A\| \to 0\ (n \to \infty)\)，则称有界线性算子列 \(\{A_n\}\) 按范数收敛到有界线性算子 \(A\)。

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定理
空间 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 中线性算子列按范数收敛等价于线性算子列在 \(X\) 中的单位球 \(S\) 上一致收敛。

证明

• 必要性：事实上，\(\forall x \in S\)，即 \(\|x\| \leq 1\)，有

  \[\|A_n x - A x\| \leqslant \sup_{\|x\|\leq1} \|(A_n - A)x\| = \|A_n - A\| \to 0\ (n \to \infty), \]

  即 \(\{A_n\}\) 在 \(S\) 上一致收敛（收敛的速度与 \(x\) 无关）。

• 充分性：如果 \(\{A_n\}\) 在 \(S\) 上一致收敛到 \(A\)，则对于任给的 \(\varepsilon > 0\)，\(\exists N\)，当 \(n \geqslant N\) 时，对于任意的 \(x \in S\)，有

  \[\|A_n x - A x\| < \varepsilon, \]

  于是当 \(n \geqslant N\) 时，\(\|A_n - A\| = \sup_{\|x\|\leq1} \|A_n x - A x\| \leqslant \varepsilon\)。即 \(\{A_n\}\) 按范数收敛到 \(A\)。

上述定理的证明和 \(C[a,b]\) 中的收敛性等价于函数列的一致收敛性类似。

注：算子列 \(\{A_n\}\) 按范数收敛等价于在任意有界集上一致收敛。
事实上，充分性由上述定理即可证明。对于必要性，设 \(M \subset X\) 是有界集，\(K\geq 0\) 为 \(M\) 的界，则 \(\forall x \in M (x \neq 0)\)，有

\[\left\|A_n x - A x \right\| \leq \left\|A_n - A \right\| \|x\| \leq \left\|A_n - A \right\|K, \]

这说明 \(\{A_n\}\) 在有界集上一致收敛。

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定义（强收敛，逐点收敛）
设 \(T_n, T \in \mathcal{B}(X, X_1)\ (n = 1, 2, \cdots)\)。如果 \(\forall x \in X\)，\(T_n x \to T x\ (n \to \infty)\)，即

\[\|T_n x - T x\| \to 0\ (n \to \infty), \]

则称 \(\{T_n\}\) 逐点收敛到 \(T\)，或称 \(\{T_n\}\) 强收敛到 \(T\)。记为 \(T_n \stackrel{\text{强}}{\to} T\)（此时收敛的速度和 \(x\) 有关）。

注：\(\{T_n\}\) 按范数收敛（一致收敛）到 \(T\) \(\Rightarrow\) \(\{T_n\}\) 强收敛（逐点收敛）到 \(T\)。事实上

\[\left\|T_n - T\right\| < \varepsilon\ (n > N) \Rightarrow \|(T_n - T)x\| \leqslant \|T_n - T\|\|x\| < \varepsilon\|x\|\ (n > N),\ \forall x \in X, \]

这个结论是符合上一定理的，因为单点集就是一个有界集合。这与数学分析里学到的关于函数列的性质是一样的，但是逐点收敛不一定是一致收敛，看以下反例。

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例（左移算子）
设 \(X = l^p\)，\(x \in l^p\)，\(x = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n, \cdots)\)，考虑左移算子

\[T_n x = x_n = (\xi_n, \xi_{n+1}, \cdots). \]

易知

\[\|T_n x\| = \|x_n\| = \left( \sum_{k=n}^{\infty} |\xi_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} \leqslant \left( \sum_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} = \|x\|, \]

可见 \(T_n\) 是有界线性算子，且 \(\|T_n\| \leqslant 1\)。

则左移算子列 \(\{T_n\}\) 强收敛到零，但 \(\{T_n\}\) 不是按范数收敛到零。

• \(\{T_n\}\) 强收敛到零：
  \[\lim_{n \to \infty} \|T_n x\| = \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=n}^{\infty} |\xi_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} = 0. \]

• \(\{T_n\}\) 不是按范数收敛到零：
  令 \(y_n = (0, \cdots, \underset{n}{1}, 0, \cdots) \in l^p\)，则
  \[\|y_n\| = 1,\quad T_n y_n = (1, 0, 0, \cdots), \]
  于是 \(\|T_n y_n\| = 1\)，所以 \(\|T_n\| \geqslant \|T_n y_n\| = 1\)。结合 \(\|T_n\| \leqslant 1\)，我们有 \(\|T_n\| = 1\)，所以 \(\|T_n - 0\| = 1\)，\(\{T_n\}\) 按范数不收敛到零。

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有界线性算子空间的完备性

接下来讨论 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 的完备性。

定理 \label{有界线性算子空间的完备性}
设 \(X\) 是赋范空间，\(X_1\) 是 Banach 空间，则 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 是 Banach 空间。

证明

1. 构造一个线性算子 \(T\)：
   设 \(\{T_n\}\) 是 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 中的 Cauchy 列。则对于任给的 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N\)，当 \(n, m \geqslant N\) 时，有

   \[\|T_n - T_m\| < \varepsilon. \]

   于是 \(\forall x \in X\)，

   \[\|T_n x - T_m x\| \leqslant \|T_n - T_m\| \|x\| < \varepsilon \|x\|, \]

   这表明对于 \(\forall x \in X\)，\(\{T_n x\}\) 是 \(X_1\) 中的 Cauchy 列。因为 \(X_1\) 完备，故存在 \(y \in X_1\)，使得

   \[T_n x \to y\ (n \to \infty),\ \forall x \in X. \]

   可以定义

   \[T x = y = \lim_{n \to \infty} T_n x. \]

   易证 \(T\) 是从 \(X\) 到 \(X_1\) 的线性算子。

2. 证明 \(T\) 是有界线性算子：
   注意到

   \[|\|T_n\| - \|T_m\|| \leqslant \|T_n - T_m\| \to 0\ (n, m \to \infty), \]

   即 \(\{\|T_n\|\}\) 是 Cauchy 数列。故存在 \(M > 0\)，使得

   \[\|T_n\| \leqslant M\ (n = 1, 2, \cdots). \]

   由范数的连续性，我们有

   \[\|T x\| = \|\lim_{n \to \infty} T_n x\| = \lim_{n \to \infty} \|T_n x\| \leqslant M\|x\|. \]

   故 \(T\) 是有界线性算子，即 \(T \in \mathcal{B}(X, X_1)\)。

3. 证明 \(\{T_n\}\) 按范数收敛（一致收敛）到 \(T\)：
   因为 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists N\)，当 \(n, m \geqslant N\) 时，

   \[\|T_n x - T_m x\| < \varepsilon\|x\|, \quad \forall x \in X \text{ 都成立}. \]

   令 \(m \to \infty\)，由范数的连续性和 \(\lim_{m \to \infty} T_m x = T x\) 可推出

   \[\|T_n x - T x\| \leqslant \varepsilon\|x\|\ (n > N),\ \forall x \in X, \]

   即

   \[\|T_n - T\| \leqslant \varepsilon\ (n > N), \]

   于是有 \(T_n \to T\ (n \to \infty)\)。

综上可知 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 是 Banach 空间。

注：设 \(X\) 是一个赋范空间，\(\mathbb{K}\) 为数域，由于数域 \(\mathbb{K}\) 是完备的，则 \(\mathcal{B}(X, \mathbb{K})\) 是完备的。

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注（个人的思考）
其实我一直想把这个证明和 \(C[a,b]\) 的完备性的证明统一起来。

• \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 是 \(X \to X_1\) 的有界线性算子集合，其实也就是 \(X\) 中单位球 \(\{x:\|x\|\leq 1,x\in X\}\) 上的连续线性映射集合，其范数定义为 \(\sup_{\|x\| \leq 1}\|Tx\|_1\)，所以是不是可以和 \(C[a,b]\) 的证明统一起来了。
• 可能需要用到连续映射列在紧集上一致收敛于连续映射。
• 因此我感觉也可以这样证明：其实主要就是利用了有界线性算子就是连续线性算子这一性质，再结合算子范数的等价定义以及连续映射列在紧集上一致收敛于连续映射。

另一种证明思路：

1. 构造线性算子 \(T\)（同上）。
2. 证明 \(T\) 是有界线性算子且 \(\{T_n\}\) 按范数收敛到 \(T\)：
   由（1）对于任给的 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N\)，当 \(n, m \geqslant N\) 时，有
   \[\|T_n - T_m\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|T_n x - T_m x\| \leq \varepsilon. \]
   因此 \(\forall n, m \geq N\)，\(\forall x: \|x\| \leq 1\)，有
   \[\|T_n x - T_m x\| < \varepsilon. \]
   对固定的 \(x\)，令 \(m \to \infty\)，由极限的保号性得
   \[\|T_n x - T x\| \leq \varepsilon \quad (n \geq N), \quad \forall x:\|x\|\leq 1. \]
   这表明 \(\{T_n\}\) 一致收敛到 \(T\)。根据“连续映射列一致收敛则极限映射连续”的性质，可知 \(T\) 在 \(\{x:\|x\|\leq 1\}\) 上连续，则 \(T\) 为有界线性算子，且 \(\{T_n\}\) 按范数收敛（一致收敛）到 \(T\)。
   综上可知 \(\mathcal{B}(X, X_1)\) 是 Banach 空间。

进一步想一下，是不是所有的从赋范空间到 Banach 空间的连续映射构成的赋范空间是完备的？这里首要问题是：是否可以给这样的空间定义范数。貌似不可以，因为如果依旧定义 \(\sup_{\|x\| \leq 1}\|Tx\|_1\)，那这样的范数可能没有正定性。为了得到正定性还需要映射是线性的。因此本节考虑连续线性算子是必要的。