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摘要： 第二章 第二节 赋范空间的几何结构 定理 设 \(B(0,1)=\{x \in X \mid \|x\|<1\}\) 是赋范空间 \(X\) 中开的单位球，则 \(B(0,1)\) 是凸的。 证明 对于任意的 \(x, y \in B(0,1)\) 及 \(0<\alpha<1\)，则 \[\|\a 阅读全文

摘要： KL 收敛分析框架与 PALM 算法中的参数假设 在凸优化领域，势函数的下降性通常能保证全局收敛，证明收敛性常用的方法是验证序列相对于函数极小值点集具有 Fejér 单调性。然而，当处理非凸（或非拟凸）函数时，这种单调性往往不再成立，下降法生成的序列可能呈现高度振荡行为。 对此，在非凸的背景下，一个 阅读全文

摘要： 第二章 第一节 赋范空间的基本概念 赋范空间的定义 定义 设 \(X\) 是数域 \(K\) 上的线性空间，函数 \(\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}\) 满足以下四个条件： 非负性：对任意 \(x \in X\)，有 \(\|x\| \geq 0\)； 正定性：\(\|x\| 阅读全文

摘要： 第一章 第四节 完备距离空间 完备距离空间的定义 定义 设 \((X, d)\) 是一个距离空间，\(\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subset (X, d)\)。若对于任意的 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，当 \(m, n>N\) 时，有 \(d 阅读全文

摘要： 第一章 第三节 闭集 可分性 列紧性 闭集 定义 设 \(X\) 是一个距离空间，集合 \(A \subset X\) 称为是闭的，若它的补集 \(A^c = X \setminus A\) 是开的。 定理 设 \(X\) 是一个距离空间，则 \(\bar{B}(x_0, r) = \{x \in 阅读全文

摘要： 第一章 第二节 开集和连续映射 1.开集、邻域 定义（开球、闭球、球面） 设 \((X, d)\) 是一个距离空间，\(r>0\)，集合 \[B(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x, x_0) < r \} \]称为以 \(x_0\) 为中心、\(r\) 为半径的开球；集合 阅读全文

摘要： 中国科学院数学方向院士名单 健在院士（按当选年份升序） 姓名 当选年份 出生日期 研究方向 工作单位 毕业院校（本硕博） 姜伯驹 1980 1937 基础数学（拓扑学） 北京大学 北京大学（本） 张恭庆 1991 1936 基础数学 北京大学 北京大学（本、硕） 王梓坤 1991 1929 概率论 阅读全文

摘要： 第一章 第一节 距离空间的基本概念 1. 定义与例子 定义：距离空间 设 \(X\) 是任一非空集合。若对任意 \(x,y\in X\)，都有一个实数 \(d(x,y)\) 与之对应，并满足： 非负性：\(d(x,y)\ge 0\)； 正定性：\(d(x,y)=0\) 当且仅当 \(x=y\)； 对 阅读全文

摘要： 双层优化中的乐观模型和悲观模型从战国到冷战，再到供应链 最近学双层优化时，忽然想到一个挺有意思的类比。 双层优化里，常常会区分乐观模型和悲观模型。 它们的区别，不在于下层问题的目标变了，而在于： 当下层最优解不唯一时，上层如何看待下层最终会落在哪一个最优解上。 设下层最优解集为 (S(x))，上层目 阅读全文

摘要： 一般 NLP 中的 KKT 条件、锥与约束资格条件 问题形式与基本目标 考虑一般非线性规划问题 \[\begin{aligned} \min_{x\in\mathbb{R}^n}\quad & f(x)\\ \mathrm{s.t.}\quad & g_i(x)\le 0,\quad i=1,\do 阅读全文